线性代数

矩阵乘法满足结合律、数乘结合律、分配律，一般不满足交换律。

矩阵转置

求线性方程组可以用增广矩阵来求，通过矩阵线性变换来让前面的矩阵变成 ，最后一列就是相应的答案。

矩阵初等变换：

1. 交换两行（列）的位置
2. 用一个非零数乘某一行的所有元
3. 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上。

定理1：设n元齐次线性方程组 ，对它的增广矩阵施以行初等变换，得到简化行梯形矩阵，若则方程无解，如果 则方程有解，当 的时候用唯一解，当的时候有无穷多解。

	0	0
0		0
0	0
0	0	0

如果矩阵A可以通过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A和B等价。

逆矩阵：

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称A是可逆矩阵，简称A可逆。

1. 可逆，且
2. 可逆，且
3. 可逆（A,B都可逆的情况下），且
4. 可逆，且

定理3：设A是n阶矩阵，下面各命题是等价的：

1. A是可逆的
2. 齐次线性方程组AX=0只有零解
3. 和 行等价
4. A可以表为有限个初等矩阵乘积

求矩阵的逆，有两种方法：待定系数法、行初等变换法。在矩阵后面加上一个单位矩阵，然后将前面变成单位矩阵，原来的单位矩阵就是所求的答案。

行列式

伴随矩阵

设A是n阶矩阵，则 $AA^=A^A=(det A)I$ ，则称为A的伴随矩阵

:

矩阵的秩

设在矩阵 A 中有一个不等于0的 阶子式D，且没有不等于0的r+1阶子式，D成为A的最高阶非零子式，r成为矩阵A的秩，记作R(A)，并规定零矩阵的秩等于0。

设A是mxn矩阵，则 的充分必要条件是通过行初等变换能将A化为具有r个非零行的行阶梯矩阵。

向量组

设有向量组， ，则下面命题等价：

2. 有解

设有n维向量组 ，若存在一组不全为零的数 使得

则称n维向量组线性相关，否则称线性无关

推论：设有n维向量组 ，则称下列三个命题等价：

1. 线性相关（无关）
2. 有非零解（只有零解）

向量组的秩=向量组T的一个极大线性无关组的数量（多少个向量线性无关）

特征值和特征向量

设A是n阶方阵，如果存在数 和n维非零向量 ，使得 ，则称 是方阵A的一个特征值， 是方阵A对应特征值 的一个特征向量。

特征方程： $\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} = tr(A)$

$$\lambda_1\lambda_2\lambda_3...\lambda_n = det(A)$$

正交矩阵

如果n阶实矩阵满足： ,则称 为正交矩阵。

矩阵可逆的条件

1. A是可逆的
2. 齐次线性方程组AX=0只有零解
3. 和 行等价
4. A可以表为有限个初等矩阵乘积
5. 矩阵的秩 （矩阵是n阶矩阵）
6. 矩阵的行列式不为0
7. A 的列向量组线性无关

线性方程组有解的条件：

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n)$$

1. 可以被上面的向量线性表出
2. 有解

线性相关性

设有m维向量组 , $A=(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n)$

1. 线性相关
2. 有非零解

概率论

全概率公式

$$\Large p(A)=\sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)$$

贝叶斯公式

$$\Large P(B_i | A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B)}$$

二项分布

$$\Large P\{X=k\}=P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$

泊松分布

适合描述单位时间内随机事件发生次数

$$\Large P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \lim_{n \to \infty}np_n=\lambda$$

正态分布

$$\Large \phi(x;\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}exp\{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}$$

数学期望

$$\Large E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i$$

数学方差

如果右式存在，则下面等式成立。

$$\Large D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-E(X)^2$$

大数定律

如果每个数学期望都存在，且对任意给定的正实数 ，都有

$$\Large \lim_{n \to \infty} P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)| < \varepsilon \} =1$$

中心极限定理

$$\Large Z_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-\sum_{i=1}^n{E(X_i)}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nD(X_i)}}$$

有

$$\Large E(Z_n)=0,D(Z_n)=1$$

记

$$\Large F_n(x)=P\{Z_n \leq x\}$$

若有

$$\Large \lim_{n \to \infty}F_n(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}dt},-\infty < x <+\infty$$

则称随机变量序列符合中心极限定理。当样本量足够大时，无论原始分布是什么，标准化后的和将趋于正态分布。

最大似然估计

设计一个似然函数，然后用极值点来作为参数的估计量。